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中考数学考试知识点分析:圆

时间:2015-12-07   作者:555edu.cn   来源:中国教育在线    点击:0

中考数学考试知识点分析:圆

 小编导语:每一门功课都有它自身的规律,有它自身的特点,数学当然也不例外。下面是有关中考数学考试知识点分析:圆的内容,供你学习参考!

  圆的初步认识

  一、圆及圆的相关量的定义(28个)

  1.平面上到定点的距离等于定长的所有点组成的图形叫做圆。定点称为圆心,定长称为半径。

  2.圆上任意两点间的部分叫做圆弧,简称弧。大于半圆的弧称为优弧,小于半圆的弧称为劣弧。连接圆上任意两点的线段叫做弦。经过圆心的弦叫做直径。

  3.顶点在圆心上的角叫做圆心角。顶点在圆周上,且它的两边分别与圆有另一个交点的角叫做圆周角。

  4.过三角形的三个顶点的圆叫做三角形的外接圆,其圆心叫做三角形的外心。和三角形三边都相切的圆叫做这个三角形的内切圆,其圆心称为内心。

  5.直线与圆有3种位置关系:无公共点为相离;有2个公共点为相交;圆与直线有唯一公共点为相切,这条直线叫做圆的切线,这个唯一的公共点叫做切点。

  6.两圆之间有5种位置关系:无公共点的,一圆在另一圆之外叫外离,在之内叫内含;有唯一公共点的,一圆在另一圆之外叫外切,在之内叫内切;有2个公共点的叫相交。两圆圆心之间的距离叫做圆心距。

  7.在圆上,由2条半径和一段弧围成的图形叫做扇形。圆锥侧面展开图是一个扇形。这个扇形的半径成为圆锥的母线。

  二、有关圆的字母表示方法(7个)

  圆--⊙ 半径—r 弧--⌒ 直径—d

  扇形弧长/圆锥母线—l 周长—C 面积—S三、有关圆的基本性质与定理(27个)

  1.点P与圆O的位置关系(设P是一点,则PO是点到圆心的距离):

  P在⊙O外,PO>r;P在⊙O上,PO=r;P在⊙O内,PO

  2.圆是轴对称图形,其对称轴是任意一条过圆心的直线。圆也是中心对称图形,其对称中心是圆心。

  3.垂径定理:垂直于弦的直径平分这条弦,并且平分弦所对的弧。逆定理:平分弦(不是直径)的直径垂直于弦,并且平分弦所对的弧。

  4.在同圆或等圆中,如果2个圆心角,2个圆周角,2条弧,2条弦中有一组量相等,那么他们所对应的其余各组量都分别相等。

  5.一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半。

  6.直径所对的圆周角是直角。90度的圆周角所对的弦是直径。

  7.不在同一直线上的3个点确定一个圆。

  8.一个三角形有唯一确定的外接圆和内切圆。外接圆圆心是三角形各边垂直平分线的交点,到三角形3个顶点距离相等;内切圆的圆心是三角形各内角平分线的交点,到三角形3边距离相等。

  9.直线AB与圆O的位置关系(设OP⊥AB于P,则PO是AB到圆心的距离):

  AB与⊙O相离,PO>r;AB与⊙O相切,PO=r;AB与⊙O相交,PO

  10.圆的切线垂直于过切点的直径;经过直径的一端,并且垂直于这条直径的直线,是这个圆的切线。

  11.圆与圆的位置关系(设两圆的半径分别为R和r,且R≥r,圆心距为P):

  外离P>R+r;外切P=R+r;相交R-r

三、有关圆的计算公式

  1.圆的周长C=2πr=πd 2.圆的面积S=s=πr? 3.扇形弧长l=nπr/180

  4.扇形面积S=nπr? /360=rl/2 5.圆锥侧面积S=πrl

  四、圆的方程

  1.圆的标准方程

  在平面直角坐标系中,以点O(a,b)为圆心,以r为半径的圆的标准方程是

  (x-a)^2+(y-b)^2=r^2

  2.圆的一般方程

  把圆的标准方程展开,移项,合并同类项后,可得圆的一般方程是

  x^2+y^2+Dx+Ey+F=0

  和标准方程对比,其实D=-2a,E=-2b,F=a^2+b^2

  相关知识:圆的离心率e=0.在圆上任意一点的曲率半径都是r.

  五、圆与直线的位置关系判断

  链接:圆与直线的位置关系(一.5)

  平面内,直线Ax+By+C=O与圆x^2+y^2+Dx+Ey+F=0的位置关系判断一般方法是

  讨论如下2种情况:

  (1)由Ax+By+C=O可得y=(-C-Ax)/B,[其中B不等于0],

  代入x^2+y^2+Dx+Ey+F=0,即成为一个关于x的一元二次方程f(x)=0.

  利用判别式b^2-4ac的符号可确定圆与直线的位置关系如下:

  如果b^2-4ac>0,则圆与直线有2交点,即圆与直线相交

  如果b^2-4ac=0,则圆与直线有1交点,即圆与直线相切

  如果b^2-4ac<0,则圆与直线有0交点,即圆与直线相离

  (2)如果B=0即直线为Ax+C=0,即x=-C/A.它平行于y轴(或垂直于x轴)

  将x^2+y^2+Dx+Ey+F=0化为(x-a)^2+(y-b)^2=r^2

  令y=b,求出此时的两个x值x1,x2,并且我们规定x1

  当x=-C/Ax2时,直线与圆相离

  当x1

  当x=-C/A=x1或x=-C/A=x2时,直线与圆相切

  圆的定理:

  1不在同一直线上的三点确定一个圆。

  2垂径定理 垂直于弦的直径平分这条弦并且平分弦所对的两条弧

  推论1 ①平分弦(不是直径)的直径垂直于弦,并且平分弦所对的两条弧

  ②弦的垂直平分线经过圆心,并且平分弦所对的两条弧

  ③平分弦所对的一条弧的直径,垂直平分弦,并且平分弦所对的另一条弧

  推论2 圆的两条平行弦所夹的弧相等

  3圆是以圆心为对称中心的中心对称图形

  4圆是定点的距离等于定长的点的集合

  5圆的内部可以看作是圆心的距离小于半径的点的集合

  6圆的外部可以看作是圆心的距离大于半径的点的集合

  7同圆或等圆的半径相等

 8到定点的距离等于定长的点的轨迹,是以定点为圆心,定长为半径的圆

  9定理 在同圆或等圆中,相等的圆心角所对的弧相等,所对的弦 相等,所对的弦的弦心距相等

  10推论 在同圆或等圆中,如果两个圆心角、两条弧、两条弦或两 弦的弦心距中有一组量相等那么它们所对应的其余各组量都相等

  11定理 圆的内接四边形的对角互补,并且任何一个外角都等于它 的内对角

  12①直线L和⊙O相交 d

  ②直线L和⊙O相切 d=r

  ③直线L和⊙O相离 d>r

  13切线的判定定理 经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线

  14切线的性质定理 圆的切线垂直于经过切点的半径

  15推论1 经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点

  16推论2 经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心

  17切线长定理 从圆外一点引圆的两条切线,它们的切线长相等, 圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角

  18圆的外切四边形的两组对边的和相等 外角等于内对角

  19如果两个圆相切,那么切点一定在连心线上

  20①两圆外离 d>R+r ②两圆外切 d=R+r

  ③两圆相交 R-rr)

  ④两圆内切 d=R-r(R>r) ⑤两圆内含dr)

  21定理 相交两圆的连心线垂直平分两圆的公共弦

  22定理 把圆分成n(n≥3):

  ⑴依次连结各分点所得的多边形是这个圆的内接正n边形

  ⑵经过各分点作圆的切线,以相邻切线的交点为顶点的多边形是这个圆的外切正n边形

  23定理 任何正多边形都有一个外接圆和一个内切圆,这两个圆是同心圆

  24正n边形的每个内角都等于(n-2)×180°/n

  25定理 正n边形的半径和边心距把正n边形分成2n个全等的直角三角形

  26正n边形的面积Sn=pnrn/2 p表示正n边形的周长

  27正三角形面积√3a/4 a表示边长

  28如果在一个顶点周围有k个正n边形的角,由于这些角的和应为 360°,因此k×(n-2)180°/n=360°化为(n-2)(k-2)=4

  29弧长计算公式:L=n兀R/180

  30扇形面积公式:S扇形=n兀R^2/360=LR/2

  31内公切线长= d-(R-r) 外公切线长= d-(R+r)

  32定理 一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半

  33推论1 同弧或等弧所对的圆周角相等;同圆或等圆中,相等的圆周角所对的弧也相等

  34推论2 半圆(或直径)所对的圆周角是直角;90°的圆周角所 对的弦是直径

  35弧长公式 l=a*r a是圆心角的弧度数r >0 扇形面积公式 s=1/2*l*r

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